Стартер тут явно ни при чем — сначала проверь массу с двигателя на кузов и сам АКБ под нагрузкой у тебя классика с падением напряжения на холодную; а тряска на непрогретом — это уже дроссель чистить и свечи смотреть, у меня на Sandero так же было пока массу не переобжал.
Начни с замера напряжения на аккумуляторе в момент пуска — если проседает ниже 10 вольт, дело не в стартере, а в массе или самом АКБ, хотя он и свежий. Дальше проверь свечи и катушки: тряска на холодную и плохой пуск часто лечатся заменой свечей, у меня на 408 так было после зимы. Если по свечам чисто смотри датчик температуры ОЖ — из-за него мозги льют переобогащенную смесь, и стартер мучается.
Судя по симптомам, это классика для 2.4 на холодную: первым делом глянь массу с АКБ на кузов и двигатель, она часто окисляется и отваливается — стартер начинает жрать ток, а на «холодную» вязкое масло добивает. Свечи тут вторичны, но если пробег под 60+ тысяч, можно заодно поменять ирридиевые. Если масса целая, а стартер всё равно еле крутит — сними его, разбери и посмотри на втулки и щетки, на 2013 годе они уже часто сыпятся. Тряска на холодную при этом, скорее всего, от того, что мозги пытаются выровнять обороты из-за подсоса воздуха или бензонасоса, почисти дроссель в первую очередь — на Honda это лечится за час.
Стартер тут не виноват — на холодную масло густое, и для 2.4 это норма, что крутит тяжело. Проверь сопротивление массы с двигателя на кузов и свечи, а если трясет — глянь подушки двигателя и дроссель, я на Крете такую же беду лечил чисткой.